Question

数列{a_n}满足a₁=

2

3

，a_n-a_n-1=-

4

3n

，n≥2且n∈N₊．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=log₃

an2

4

，数列{

1

bn•bn+2

}的前n项和是T_n，证明：T_n＜

3

16

．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,等差数列的通项公式,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：运用等差数列的性质，运算求解，注意累加法的运用，裂项法的运用．

解答： 解：（1）∵a₂-a₁=-

4

32

，a₃-a₂=-

4

33

，…a_n-a_n-1=-

4

3n

，加起来得；a_n-

2

3

=-4(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)
运用等比数列的求和公式化简得：a_n=

2

3n

，
（2）证明：∵b_n=log₃

an2

4

=log₃ 

4 32n

4

=log

3-2n 3

=-2n
∴

1

bn•bn+2

=

1

4•n(n+2)

=

1

8

(

1

n

-

1

n+2

)
可得：T_n=

1

8

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

8

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）＜

1

8

×

3

2

=

3

16

即T_n＜

3

16

成立．

点评：本题综合考查了数列的运算性质，化简技巧．