Question

已知函数f（x）=

lnx

x

．
（Ⅰ）求过原点且与函数f（x）的图象相切的直线方程；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）lnx-m，讨论函数g（x）在区间[

1

e

，e²]上零点的个数；
（Ⅲ）记F_n（x）=

ln2(nx)

n3

，S_n（x）=F₁（x）+F₂（x）+…+F_n（x），n∈N^*．若对任意正整数P，|S_n+p（x）-S_n（x）|＜

4

n

对任意x∈D恒成立，则称S_n（x）在x∈D上是“高效”的．试判断S_n（x）是否是x∈[e，e²]上是“高效”的？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数零点的判定定理,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=

1-lnx

x2

，再求出切线方程为y-y₀=

1-lnx0

x02

（x-x₀），从而

lnx0

x0

=

1-lnx0

x02

x₀，进而x₀=

e

；
（Ⅱ）令g（x）=0，得m=f（x）lnx，令h（x）=f（x）lnx，得h（x）在[

1

e

，1），（e²，+∞）递减，在（1，e²）递增，讨论m＜0，或m＞e时，m=0或

4

e2

＜m≤e时0＜m≤

4

e2

时的情况，进而求出零点的个数；
（Ⅲ）x∈[e，e²]时，ln²[（n+p）x]≤4（n+p），而对|s_n+p（x）-s_n（x）|＜4[

1

n(n+1)

+

1

(n+1)(n+2)

+…+

1

(n+p-1)(n+p)

]＜

4

n

，综上，s_n（x）在区间[e，e²]上是“高效”的．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=

1-lnx

x2

，
设切点为（x₀，y₀），则切线斜率为

1-lnx0

x02

，
∴切线方程为y-y₀=

1-lnx0

x02

（x-x₀），
又∵原点在切线上，
∴

lnx0

x0

=

1-lnx0

x02

x₀，
∴x₀=

e

；
（Ⅱ）令g（x）=0，得m=f（x）lnx，
令h（x）=f（x）lnx，
∴h′（x）=

2lnx-ln2x

x2

，（

1

e

≤x≤e²），
令h′（x）＞0，解得：1＜x＜e²，
令h′（x）＜0，解得：

1

e

＜x＜1，x＞e²，
∴h（x）在[

1

e

，1），（e²，+∞）递减，在（1，e²）递增，
又h（1）=0，h（

1

e

）=e＞h（e²）=

4

e2

，
故m＜0，或m＞e时，g（x）没有零点，
m=0或

4

e2

＜m≤e时，g（x）有一个零点，
0＜m≤

4

e2

时，g（x）有两个零点．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知x＞1时，ln²[（n+p）x]≤

4

e2

（n+p）x成立，
又n，p∈N^*，∴x＞1时，ln²[（n+p）x]≤

4

e2

（n+p）x成立，
又当x∈[e，e²]时，

4

e2

（n+p）x≤4（n+p），
故当x∈[e，e²]时，ln²[（n+p）x]≤4（n+p），
而对|s_n+p（x）-s_n（x）|=

ln2[(n+1)x]

(n+1)3

+

ln2[(n+2)x]

(n+2)3

+…+

ln2[(n+p)x]

(n+p)3

≤

4(n+1)

(n+1)3

+

4(n+2)

(n+2)3

+…+

4(n+p)

(n+p)3

=4[

1

(n+1)2

+

1

(n+2)2

+…+

1

(n+p)2

]
＜4[

1

n(n+1)

+

1

(n+1)(n+2)

+…+

1

(n+p-1)(n+p)

]
=4（

1

n

-

1

n+p

）＜

4

n

，
综上，s_n（x）在区间[e，e²]上是“高效”的．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，函数的零点问题，新概念问题，切线方程问题，是的综合题．