Question

已知定义在区间（-1，1）上的函数f（x）=x+log 

1

2

1-x

1+x

．
（1）试判断f（x）的奇偶性；
（2）当x∈[-

1

3

，

1

3

]时，f（x）是否存在最大值？若存在求出它的最大值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的定义证明即可；
（2）证明f（x）=g（x）+log 

1

2

t（x）在[-

1

3

，

1

3

]为增函数，即可得出结论．

解答： 解：（1）对于任意的x∈（-1，1），
∵f（-x）=-x+log

1

2

1+x

1-x

=-x-log 

1

2

1-x

1+x

=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）设g（x）=x，t（x）=

1-x

1+x

，则f（x）=g（x）+log 

1

2

t（x），且g（x）在[-

1

3

，

1

3

]为增函数，
∵t（x）=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

在[-

1

3

，

1

3

]为减函数，
所以f（x）=g（x）+log 

1

2

t（x）在[-

1

3

，

1

3

]为增函数．
∴当x=

1

3

时，f（x）有最大值，且最大值为

4

3

．

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．