Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足acosC=2bcosA-ccosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可将acosC=2bcosA-ccosA转化为sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=$\frac{1}{2}$即可
（2）在△ABC中，由余弦定理得a²=b²+c²-2bc•cosA⇒8=（b-4）（b+2）=0，解得b=4，即可求得面积．

解答 解：（1）由正弦定理可将acosC=2bcosA-ccosA转化为sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，
⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=$\frac{1}{2}$
∵0＜A＜π∴A=$\frac{π}{3}$
（2）在△ABC中，由余弦定理得a²=b²+c²-2bc•cosA，即12=b²+4-2b→b²-2b
⇒8=（b-4）（b+2）=0，解得b=4，
s_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=2$\sqrt{3}$

点评 本题考查了正余弦定理的应用，属于中档题．