Question

解关于x的不等式：
（1）（x+a）（-x+1）＞0；
（2）（ax+3）（x-1）≤0．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（1）把不等式化为（x-1）（x+a）＜0，讨论-a与1的大小，求出不等式的解集来；
（2）讨论a=0、a＞0以及a=-3和-3＜a＜0、a＜-3时，不等式的解集是什么，求出解集即可．

解答： 解：（1）不等式（x+a）（-x+1）＞0化为（x-1）（x+a）＜0，
①当a＞-1时，-a＜1，原不等式的解集为{x|-a＜x＜1}；
②当a=-1时，-a=1，原不等式化为（x-1）²＜0，解集为∅；
③当a＜-1时，-a＞1，原不等式的解集为{x|1＜x＜-a}；
（2）①当a=0时，不等式（ax+3）（x-1）≤0化为3（x-1）≤0，
解得x≤1，∴原不等式的解集为{x|x≤1}；
②当a≠0时，若a＞0，则不等式化为（x+

3

a

）（x-1）≤0，
解得-

3

a

≤x≤1，∴原不等式的解集为{x|-

3

a

≤x≤1}；
若a=-3，则不等式化为（x-1）²≥0，
解得x∈R，∴原不等式的解集为R；
若-3＜a＜0，则不等式化为（x+

3

a

）（x-1）≥0，
解得x≤1，或x≥-

3

a

，∴原不等式的解集为{x|x≤1，或x≥-

3

a

}；
若a＜-3，则不等式化为（x+

3

a

）（x-1）≥0，
解得x≤-

3

a

，或x≥1，∴原不等式的解集为{x|x≤-

3

a

，或x≥1}；
综上：a=0时，不等式的解集为{x|x≤1}；
a＞0时，不等式的解集为{x|-

3

a

≤x≤1}；
a=-3时，不等式的解集为R；
-3＜a＜0时，不等式的解集为{x|x≤1，或x≥-

3

a

}；
a＜-3时，不等式的解集为{x|x≤-

3

a

，或x≥1}．

点评：本题考查了用分类讨论法求不等式的解集的问题，解题的关键是选择适当的分类数据，是中档题目．