Question

在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2bcosC=2a-c．
（1）求角B；
（2）若△ABC的面积S=

3 3

4

，a+c=4，求b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式变形，根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积与sinB的值代入求出ac的值，利用余弦定理列出关系式，将cosB的值代入并利用完全平方公式变形，把a+c与ac的值代入即可求出b的值．

解答： 解：（1）根据正弦定理化简2bcosC=2a-c，得：2sinBcosC=2sinA-sinC，
即2sinBcosC=2sin（B+C）-sinC，
整理得2sinCcosB=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosB=

1

2

，
则B=

π

3

；
（2）∵△ABC的面积S=

3 3

4

，sinB=

3

2

，
∴S=

1

2

acsinB=

3 3

4

，即

3

4

ac=

3 3

4

，
∴ac=3，
∵a+c=4，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=16-9=7，
则b=

7

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．