题目内容
已知函数f（x）=（
-1）k+（
-1）k（x＞0，a＞0，k∈N*），
（1）当k=1时，求函数的最小值；
（2）当k=2时，记函数的最小值为g（a），若g（a）≤
，试确定实数a的取值范围．
| x |
| a+1 |
| a |
| x |
（1）当k=1时，求函数的最小值；
（2）当k=2时，记函数的最小值为g（a），若g（a）≤
| 2 |
| 3 |
考点：函数的最值及其几何意义
专题：计算题,不等式的解法及应用
分析：（1）利用基本不等式，（2）先化简，讨论，利用基本不等式和函数的单调性．
解答：
解：（1）当k=1时，函数f（x）=（
-1）+（
-1）
=
+
-2≥2
-2，
（当且仅当
=
，x=
时，等号成立）
即函数的最小值为2
-2．
（2）当k=2时，函数f（x）=（
-1）2+（
-1）2
=（
）2-2
+1+（
）2-2
+1
=（
）2+（
）2-2（
+
）+2
=（
+
）2-2（
+
）+2-2
=（
+
-1）2+1-2
，
∵
+
≥2
（当且仅当
=
，x=
时，等号成立），
①当2
≤1，即0＜a≤
时，
g（a）=f（x）min=1-2
≤
，
解得，0＜a≤
．
①当2
＞1，即a＞
时，
g（a）=f（x）min=（2
-1）2+1-2
≤
，
化简得，（
-1）2≤
，
即
＞1-
，
解得，a＞
．
综上所述，实数a的取值范围为（0，
]∪（
，+∞）．
| x |
| a+1 |
| a |
| x |
=
| x |
| a+1 |
| a |
| x |
|
（当且仅当
| x |
| a+1 |
| a |
| x |
| a(a+1) |
即函数的最小值为2
|
（2）当k=2时，函数f（x）=（
| x |
| a+1 |
| a |
| x |
=（
| x |
| a+1 |
| x |
| a+1 |
| a |
| x |
| a |
| x |
=（
| x |
| a+1 |
| a |
| x |
| x |
| a+1 |
| a |
| x |
=（
| x |
| a+1 |
| a |
| x |
| x |
| a+1 |
| a |
| x |
| a |
| a+1 |
=（
| x |
| a+1 |
| a |
| x |
| a |
| a+1 |
∵
| x |
| a+1 |
| a |
| x |
|
| x |
| a+1 |
| a |
| x |
| a(a+1) |
①当2
|
| 1 |
| 3 |
g（a）=f（x）min=1-2
| a |
| a+1 |
| 2 |
| 3 |
解得，0＜a≤
| 1 |
| 5 |
①当2
|
| 1 |
| 3 |
g（a）=f（x）min=（2
|
| a |
| a+1 |
| 2 |
| 3 |
化简得，（
|
| 1 |
| 3 |
即
|
| ||
| 3 |
解得，a＞
| 1 |
| 3 |
综上所述，实数a的取值范围为（0，
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查了函数的单调性与最值，同时考查了基本不等式和分类讨论的思想．
练习册系列答案
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设复数Z满足（2+i）•Z=1-2i3，则复数Z对应的点位于复平面内（ ）
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