Question

已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，过椭圆G右焦点F的直线m：x=1与椭圆G交于点M（点M在第一象限）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）已知A为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线l与椭圆相交于B，C两点．判断直线MB，MC是否关于直线m对称，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出c=1，

c

a

=

1

2

，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由已知条件得A(-2，0)，M(1，

3

2

)，设直线l：y=

1

2

x+n，n≠1．设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+n

，得x²+nx+n²-3=0．再由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出直线MB，MC关于直线m对称．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，
过椭圆G右焦点F的直线m：x=1与椭圆G交于点M（点M在第一象限），
∴c=1，（1分）

c

a

=

1

2

，解得a=2，（2分）
∴b²=a²-c²=3，（3分）
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）∵A为椭圆G的左顶点，∴A(-2，0)，M(1，

3

2

)，（6分）
∴由题意可设直线l：y=

1

2

x+n，n≠1．（7分）
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+n

，得x²+nx+n²-3=0．
由题意得△=n²-4（n²-3）=12-3n²＞0，
即n∈（-2，2）且n≠1．（8分）
x1+x2=-n，x1x2=n2-3．（9分）
∵kMB+kMC=

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

，（10分）

= 1 2 x1+n- 3 2 x1-1 + 1 2 x2+n- 3 2 x2-1 =1+ n-1 x1-1 + n-1 x2-1 =1+ (n-1)(x1+x2-2) x1x2-(x1+x2)+1

=1-

(n-1)(n+2)

n2+n-2

=0，（13分）
所以直线MB，MC关于直线m对称．（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两条直线是否关于已知直线对称的判断，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用．