Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点F与双曲线x2-

y2

4

=1的右顶点重合．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线l经过焦点F，且倾斜角为60°，与抛物线交于A、B两点，求：弦长|AB|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由双曲线得右顶点坐标，从而可得抛物线的焦点坐标，进而写出抛物线方程；
（2）直线的方程与抛物线y²=4x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB的长．

解答： 解：（1）双曲线x2-

y2

4

=1的右顶点为（1，0），
∵抛物线的焦点F与双曲线x2-

y2

4

=1的右顶点重合，
∴F（1，0）．
设抛物线的方程为：y²=2px（p＞0）
∴

p

2

=1，∴p=2，
∴抛物线方程是 y²=4x；
（2）直线l方程为y=

3

（x-1），代入方程y²=4x，得3（x-1）²=4x，化简得3x²-10x+3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=

10

3

，
于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2=

16

3

．

点评：本题考查双曲线的简单性质及抛物线的标准方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题和方程的思想，属于中档题．