Question

已知函数f（x）=（x+1）²
（1）当1≤x≤m时，不等式f（x-3）≤x恒成立，求实数m的最大值；
（2）在曲线y=f（x+t）上存在两点关于直线y=x对称，求t的取值范围；
（3）在直线y=-

1

4

上取一点P，过点P作曲线y=f（x+t）的两条切线l₁、l₂，求证：l₁⊥l₂．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）当1≤x≤m时，不等式f（x-3）≤x恒成立，即y=f（x-3）=（x-2）²在区间[1，4]上图象在直线y=x的下面，求出两个函数图象交点的坐标，可得答案．
（2）若曲线y=f（x+t）上存在两点A，B关于直线y=x对称，则方程组

y=f(x+t) y=-x+b

有解，结合一元二次方程根的个数与△的关键，韦达定理等，可得t的取值范围；
（3）设P的坐标为（a，-

1

4

），可求出过点P作曲线y=f（x+t）的切线方程，结合切线与曲线只有一个交点，联立所得方程组只有一解，可得两条直线的斜率积为-1，进而得到结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=（x+1）²
∴f（x-3）=（x-2）²
由

y=x y=(x-2)2

得

x=1 y=1

或

x=4 y=4

即y=f（x-3）=（x-2）²在区间[1，4]上图象在直线y=x的下面，
即f（x-3）≤x恒成立，
∴m的最大值为4．
（2）设曲线上关于直线y=x的对称点为A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）
则直线AB的方程为：y=-x+b
若在曲线y=f（x+t）上存在两点关于直线y=x对称，
则方程组

y=f(x+t) y=-x+b

有解
即方程组

y=(x+t+1)2 y=-x+b

有解
即方程x²+（2t+3）x+（t+1）²-b=0有解
即△=（2t+3）²-4[（t+1）²-b]=4t+5+4b＞0…①
则x₁+x₂=-2t-3，x₀=-

2t+3

2

，y₀=-x₀+b=

2t+3

2

+b
又因为AB中点在直线y=x上，所以y₀=x₀，
得b=-2t-3
代入①式得：t＜-

7

4

证明：（3）设P的坐标为（a，-

1

4

），过P的切线方程为：y+

1

4

=k（x-a），
则方程组

y=f(x+t) y+ 1 4 =k(x-a)

有且只有一解
即方程组

y=(x+t+1)2 y+ 1 4 =k(x-a)

有且只有一解
即方程x2+[2(t+1)-k]x+(t+1)2+ka+

1

4

=0有一解
即△=[2(t+1)-k]2-4[(t+1)2+ka+

1

4

]=k²-4（t+1+a）k-1=0
直线l₁、l₂的斜率k₁、k₂为方程k²-4（t+1+a）k-1=0的两根，
则k₁•k₂=-1
∴l₁⊥l₂．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，直线的交点，曲线的切线，韦达定理，直线垂直的充要条件，是函数与解析几何的综合应用，难度较大，属于难题．