Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率e=

5

5

，过F₁的直线交椭圆于M、N两点，且△MNF₂的周长为4

5

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设AB是过椭圆E中心的任意弦，P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点，求△APB面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用△MNF₂周长为4

5

，求出a，利用离心率e=

5

5

，求出c，进而求出b，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）线AB的方程为y=kx，线段AB的垂直平分线为y=-

1

k

x，分别与椭圆方程联立，求出P的坐标，|AB|，表示出△APB面积，换元，利用配方法，即可求△APB面积的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵△MNF₂周长为4

5

，
∴4a=4

5

，
∴a=

5

，
∵离心率e=

5

5

，
∴c=1，
∴b=

a2-c2

=2，
∴椭圆E的方程为

x2

5

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）直线AB的方程为y=kx，线段AB的垂直平分线为y=-

1

k

x，
y=-

1

k

x与椭圆方程联立，可得x=±

20k2 4k2+5

，
∴可得P（

20k2 4k2+5

，-

1

k

20k2 4k2+5

），
P到直线AB的距离为d=|

k2+1

k

•

20k2 4k2+5

|
y=kx与椭圆方程联立，可得x=±

20 4+5k2

∴|AB|=

1+k2

•2

20 4+5k2

∴S_△ABP=

1

2

|AB|d|=

1

2

1+k2

•2

20 4+5k2

•|

k2+1

k

•

20k2 4k2+5

|
令t=k²+1（t≥1），则S_△ABP=20•

t2 (5t-1)(4t+1)

=20•

1 -( 1 t - 1 2 )2+ 81 4

，
∵t≥1，
∴t=1，即k=0时，△APB面积的最小值为2

5

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．