Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=10，cosC=

7

8

，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A、

  5

• B、

  15

• C、

  10

• D、

  13

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：由cosC的值，求出sinC的值，由a+b+c=10，得到a+b=10-c，利用余弦定理表示出cosC，利用完全平方公式变形后，把a+b=10-c代入整理表示出ab，利用基本不等式得到ab≤（(

a+b

2

)2）²，把a+b=10-c代入，结合表示出的ab，求出c的范围，利用三角形面积公式表示出S_△ABC，根据c的范围求出S_△ABC的最大值即可．

解答： 解：在△ABC中，由cosC=

7

8

，可得sinC=

1-cos2C

=

15

8

．
∵a+b+c=10，即a+b=10-c，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

(a+b)2-2ab-c2

2ab

=

(10-c)2-2ab-c2

2ab

=

7

8

，
化简可得ab=

80-16c

3

 ①．
由于ab≤(

a+b

2

)2=

(10-c)2

4

，∴

80-16c

3

≤

(10-c)2

4

，化简可得3c²+4c-20≥0，
求得c≥2．
△ABC面积S=

1

2

ab•sinC=

15

16

ab≤

15

16

•(

10-c

2

)2，故当c=2时，S取得最大值为

15

，
故选：B．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．