Question

已知函数f（x）满足：
①定义域为R；
②?x∈R，有f（x+2）=2f（x）；
③当x∈（0，2）时，f（x）=2-|2x-2|，设ρ（x）=f（x）-log₂|x|（x∈（-8，0）∪（0，8））．
根据以上信息，可以得到函数ρ（x）的零点个数为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：据条件：③当x∈[0，2]时，f（x）=2-|2x-2|可以作出函数图象位于[0，2]的拆线，再由?x∈R，有f（x+2）=2f（x），可将图象向右伸长，每向右两个单位长度，纵坐标变为原两倍，由此可以作出f（x）的图象，找出其与的交点，就可以得出ρ（x）的零点，问题迎刃而解．

解答： 解：根据题意，作出函数y=f（x）（-8≤x≤8）的图象：
在同一坐标系里作出y=f（x）和y=log₂|x|的图象，
可得两图象在有8个交点．所以有8个零点，
故答案为：8

点评：本题考查函数零点个数的判断和数形结合思想的应用．在判断函数零点个数时，常转化为对应方程的根，利用根的个数来得结论或转化为对应两个函数的图象的交点，利用两个函数的图象的交点个数来判断．