Question

用错位相减法求b_n=n²×2ⁿ的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：两次运用错位相减法即可求得bn=n2×2n的前n项和．

解答： 解：由bn=n2×2n，
则其前n项和为Sn=12×21+22×22+32×23+…+n2×2n  ①，
2Sn=12×22+22×23+…+(n-1)2×2n+n2×2n+1  ②，
①-②得：
-Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n-n2×2n+1．
再令Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n  ③，
2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1  ④，
③-④得：-Tn=2+23+24+…+2n+1-(2n-1)×2n+1
=2+

8(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)×2n+1=2ⁿ⁺²-（2n-1）×2ⁿ⁺¹-6，
∴Tn=6+(2n-1)×2n+1-2n+2．
则-Sn=6+(2n-1)×2n+1-2n+2-n2×2n+1=6-（n-1）²×2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²．
∴Sn=(n-1)2×2n+1+2n+2-6．

点评：本题考查了错位相减法求数列的和，考查了学生的计算能力，是中档题．