Question

在半径为1的圆周上任取三点，连接成三角形，这个三角形是锐角三角形的概率是多少？

Answer 1

考点：几何概型

专题：计算题,概率与统计

分析：根据题意，将圆周按逆时针方向依次标记三点为A、B、C，设出弧AB、弧BC与弧CA的长度，得到所有可能的结果构成的平面区域与“三点组成锐角三角形”构成的平面区域，分别算出两个区域的面积再利用几何概型公式加以计算，可得能构成锐角三角形的概率．

解答： 解：如图①，按逆时针方向依次标记三点为A、B、C，设弧AB=x，弧BC=y，弧CA=2π-x-y．

依题意，所有可能的结果构成平面区域为：Ω={（x，y）|0＜x＜2π，0＜y＜2π，0＜2π-x-y＜2π}．
事件A=“三点组成锐角三角形”构成的平面区域为：A={（x，y）∈Ω|0＜x＜π，0＜y＜π，0＜2π-x-y＜π}．
分别作出Ω与A中不等式组对应的平面区域，得到两个三角形及其内部区域，如图②所示
∵平面区域Ω的面积为μΩ=

1

2

×2π×2π=2π2，平面区域A的面积为μA=

1

2

×π×π=

1

2

π2，
∴故所求概率为P(A)=

μA

μΩ

=

1 2 π2

2π2

=

1

4

．
答：这个三角形是锐角三角形的概率是

1

4

．

点评：本题给出圆周上的任意三点，求此三点能构成锐角三角形的概率，着重考查了圆内接三角形、二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型计算公式等知识，属于中档题．