Question

已知函数f（x）=x²+mx+n有两个零点-1与3
（1）求出函数f（x）的解析式，并指出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若g（x）=f（|x|）对任意x₁，x₂∈[t，t+1]，且x₁≠x₂，都有

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0成立，试求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据 函数f（x）=x²+mx+n有两个零点-1与3，利用根与系数的关系求得m、n的值，可得二次函数f（x）的解析式，从而求得函数的增区间．
（2）根据 g（x）=f（|x|）的解析式求得它的增区间，再由条件可得区间[t，t+1]在函数g（x）的增区间内，可得 t≥1，或

t+1≤0 t≥-1

，由此求得t的范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x²+mx+n有两个零点-1与3，∴

-1+3=-m -1×3=n

，即 

m=-2 n=-3

，
∴f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴函数的增区间为[1，+∞）．
（2）∵g（x）=f（|x|）=x²-2|x|-4=

x2-2x-3 ，x≥0 x2+2x-3 ，x＜0

，∴它的增区间为[1，+∞）、[-1，0]．
对任意x₁，x₂∈[t，t+1]，且x₁≠x₂，都有

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0成立，
∴区间[t，t+1]在函数g（x）的增区间内，∴t≥1，或

t+1≤0 t≥-1

．
解得t≥1，或t=-1．

点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，函数的单调区间，体现了转化的数学思想，属于中档题．