Question

设函数f(x)=sin(

πx

4

-

π

6

)-2cos2

πx

8

+1．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当x∈[0，

4

3

]时，y=g（x）的最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f（x）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g（x）的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=sin

π

4

xcos

π

6

-cos

π

4

xsin

π

6

=

3

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x=

3

（

1

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x）=

3

sin（

π

4

x-

π

3

），
∵ω=

π

4

，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

π 4

=8；
（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2-x，g（x）），
由题设条件，点（2-x，g（x））在y=f（x）的图象上，
从而g（x）=f（2-x）=

3

sin[

π

4

（2-x）-

π

3

]=

3

sin[

π

2

-

π

4

x-

π

3

]=

3

cos（

π

4

x+

π

3

），
当0≤x≤

3

4

时，

π

3

≤

π

4

x+

π

3

≤

2π

3

，
则y=g（x）在区间[0，

4

3

]上的最大值为g_max=

3

cos

π

3

=

3

2

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．