Question

分形几何学是数学家伯努瓦•曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：

已知第三行有白圈5个，黑圈4个，我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4），则第四的白圈与黑圈的“坐标”为

 

．照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，根据第三行的数据可求出第四行的“坐标”；
再根据前五行的白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，可归纳第n行的白圈数为

3n-1+1

2

，黑圈数为

3n-1+1

3

-1=

3n-1-1

3

．

解答： 解：根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，
第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4），第四行的白圈数为2×5+4=14；黑圈数为5+2×4=13，
∴第四行的“坐标”为（14，13）；
第五行的“坐标”为（41，40），
各行白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，
∴第n行的白圈数为

3n-1+1

2

，黑圈数为

3n-1+1

3

-1=

3n-1-1

3

，
故答案是（14，13），(

3n-1+1

2

，

3n-1-1

2

)n∈N+．

点评：本题考查了归纳推理的应用，多观察几组数据是发现规律的有效方法．