Question

已知f（x）=

x2+x，x≥0 -x2+x，x＜0

，则不等式f（x²-x+1）＜12解集是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由题意可得函数f（x）为奇函数，函数f（x）在R上是增函数．令x²+x=12，求得x=3或x=-4（舍去）．故由不等式f（x²-x+1）＜12，可得 x²-x+1＜3，由此求得x的范围．

解答： 解：∵f（x）=

x2+x，x≥0 -x2+x，x＜0

，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，
∴函数f（x）为奇函数，
再根据二次函数的图象和性质可得：
f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（0）=0，可得函数f（x）在R上是增函数．
令x²+x=12，求得x=3 或x=-4（舍去）．
∴由不等式f（x²-x+1）＜12，可得 x²-x+1＜3，
即 （x+1）（x-2）＜0，
解得-1＜x＜2，
故答案为：（-1，2）．

点评：本题主要考查分段函数的应用，考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．