Question

函数f（x）满足f（-1）=

1

4

，对于x，y∈R，有4f（

x+y

2

）f（

x-y

2

）=f（x）+f（y），则f（-2013）=（　　）

• A、-

  1

  2

• B、

  1

  2

• C、-

  1

  4

• D、

  1

  4

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令x=y，则4f（x）f（0）=f（x）+f（x），从而解得f（0）=

1

2

；再令y=x+2得f（x）+f（x+3）=0；从而求f（-2013）．

解答： 解：令x=y，则4f（x）f（0）=f（x）+f（x）；
故f（x）（4f（0）-2）=0；
故f（0）=

1

2

；
令y=x+2得，
4f（x+1）f（-1）=f（x）+f（x+2），
故f（x+1）=f（x）+f（x+2），
故f（x+2）=f（x+1）+f（x+3）；
f（x）+f（x+3）=0；
故f（x）=-f（x+3）=f（x+6）；
故f（-2013）=f（-335×6-3）=f（-3）=-f（0）=-

1

2

；
故选A．

点评：本题考查了抽象函数的应用，属于中档题．