Question

8．如图∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的⊙O与BC交于点E．
（Ⅰ）求证：BC•CE=AD•DB；
（Ⅱ）若BE=4，点N在线段BE上移动，∠ONF=90°，NF与⊙O相交于点F，求NF的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由∠ACB=90°，CD⊥AB于D，得到CD²=AD•DB，由此利用切割线定理能证明CE•CB=AD•DB．
（Ⅱ）由NF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{N}^{2}}$，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴CD²=AD•DB，
∵CD是圆O的切线，
由切割线定理，得CD²=CE•CB，
∴CE•CB=AD•DB．
解：（Ⅱ）∵ON⊥NF，∴NF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{N}^{2}}$，
∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，
弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，
∴|NF|_max=$\frac{1}{2}$|BE|=2．

点评 本题考查两组线段乘积相等的证明，考查线段长最小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．