Question

5．如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为16+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体表面积公式，可得答案．

解答 解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
其直观图如下图所示：

E和F分别是AB和CD中点，作EM⊥AD，连接PM，且PD=PC，
由三视图得，PE⊥底面ABCD，AB=4，CD=2，PE═EF=2
在直角三角形△PEF中，PF=$\sqrt{{EF}^{2}+{PE}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在直角三角形△DEF中，DE=$\sqrt{{EF}^{2}+{DF}^{2}}$=$\sqrt{5}$，同理在直角梯形ADEF中，AD=$\sqrt{5}$，
根据△AED的面积相等得，$\frac{1}{2}$×AD×ME=$\frac{1}{2}$×AE×EF，解得ME=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∵PE⊥底面ABCD，EM⊥AD，∴PM⊥AD，PE⊥ME，
在直角三角形△PME中，PM=$\sqrt{{EM}^{2}+{PE}^{2}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
∴该四棱锥的表面积S=$\frac{1}{2}$×（4+2）×2+$\frac{1}{2}$×4×2+$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$+2×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\frac{6}{\sqrt{5}}$=16+2$\sqrt{2}$．
故答案为：16+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的直观图，难度中档．