Question

设a是实数，f（x）=x²+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不小于

1

2

．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,二次函数的性质

专题：证明题,反证法

分析：因“至少有一个不小于”的反面情况较简单，比较方便证明，故从反面进行证明．

解答： 证明：∵f（x）=x²+ax+a
∴f（1）=1+2a，f（2）=4+3a，
假设|f（1）|，|f（2）|都小于

1

2

，
则|1+2a|＜

1

2

，|4+3a|＜

1

2

∴-0.75＜a＜-0.25且-1.5＜a＜-

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，不成立
∴假设不成立，即原命题成立．

点评：反证法是一种从反面的角度思考问题的证明方法，体现的原则是正难则反．反证法的基本思想：否定结论就会导致矛盾，证题模式可以简要的概括为“否定→推理→否定”．