题目内容
19．
如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．
分析 （1）推导出AD⊥C1D，从而CC1⊥平面ABC，进而AD⊥CC1，由此能证明AD⊥平面BCC1B1．即平面ADC1⊥平面BCC1B1
（2）由AD⊥BC，得D是BC中点，连结ED，得四边形AA1DE是平行四边形，由此能证明A1E∥平面ADC1．
解答 证明：（1）∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D，
∴CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，∴AD⊥CC1，
又C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1．
AD?面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1
（2）∵AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AC，∴D是BC中点，
连结ED，∵点E是C1B1的中点，
∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1DE是平行四边形，
∴A1E∥AD，
又A1E?面ADC1，AD?平面ADC1．
∴A1E∥平面ADC1．
点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题、书写的规范性，注意空间思维能力的培养．
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