Question

设关于x的函数y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值为f（a），试确定满足f(a)=

1

2

的a的值，并对此时的a值求y的最大值及对应x的集合．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用换元法，令cosx=t，t∈[-1，1]，把原函数化为关于t的二次函数，由对称轴所在的区间分类求最小值，由最小值等于

1

2

求解a的值为-1，把a=-1代入原函数求得y的最大值，并得到相应的x的取值集合．

解答： 解：令cosx=t，t∈[-1，1]，
则y=2t²-2at-（2a+1），对称轴t=

a

2

，
当

a

2

＜-1，即a＜-2时，[-1，1]是函数y的递增区间，ymin=1≠

1

2

；
当

a

2

＞1，即a＞2时，[-1，1]是函数y的递减区间，ymin=-4a+1=

1

2

，
解得a=

1

8

，与a＞2矛盾；
当-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，ymin=-

a2

2

-2a-1=

1

2

，a2+4a+3=0
解得a=-1，或a=-3（舍），
∴a=-1，此时y_max=-4a+1=5，x∈{x|x=2kπ，k∈Z}．

点评：本题考查了三角函数的最值，训练了换元法，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．