Question

已知等比数列a_n=

1

3n-1

，其前n项和为S_n=

n

k-1

a_k，则S_k+1与S_k的递推关系不满足（　　）

• A、S_k+1=S_k+

  1

  3k+1

• B、S_k+1=1+

  1

  3

  S_k
• C、S_k+1=S_k+a_k+1
• D、S_k+1=3S_k-3+a_k+a_k+1

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件，求出数列{a_n}的通项公式和前n项和公式，由此利用数列的性质进行运算，能得到S_k+1与S_k的递推关系．

解答： 解：∵等比数列a_n=

1

3n-1

=3^1-n，
∴a₁=1，a2=

1

3

，q=

1

3

，
∴S_n=

n

k=1

ak=

1- 1 3n

1- 1 3

=

3

2

（1-

1

3n

），
∴S_k+1=S_k+

1

3k

，故A不成立；
S_k+1=

3

2

（1-

1

3n

）=

3

2

-

3

2

×

1

3n

=1+

1

2

-

1

2

×

1

3n-1

=1+

1

2

(1-

1

3n-1

)=1+

1

3

Sk，故B成立；
由数列的前n项和的定义知：S_k+1=S_k+a_k+1，故C成立；
∵3S_k-3+a_k+a_k+1
=3×

3

2

(1-

1

3k-1

)-3+31-k+3-k
=

9

2

-

9

2

×

1

3n-1

-3+

1

3k-1

+

3

3k-1

=

3

2

-

1

2

×

1

3k-1

=

3

2

(1-

1

3k

)=S_k+1，故D成立．
故选A．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的应用，是中档题，解题时要注意通项公式和前n项和间的等价转化．