Question

4．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，如表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表：

年份x	2011	2012	2013	2014	2015
储蓄存款y（千亿元）	5	6	7	8	10

为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t=x-2010，z=y-5得到如下表：

时间代号t	1	2	3	4	5
z	0	1	2	3	5

（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y关于x的回归方程；
（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？
（附：对于线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$，其中：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （I）由所给数据看出，做出平均数，利用最小二乘法做出b，a，写出线性回归方程．
（II）t=x-2010，z=y-5，代入z=1.2t-1.4得到y关于x的回归方程；
（Ⅲ）把所给的x的值代入线性回归方程，求出变化以后的预报值，得到结果．

解答 解：（Ⅰ）$\overline t=3，\overline z=2.2$，$\sum_{i=1}^5{t_i}{z_i}=45$，$\sum_{i=1}^5{{t_i}^2}=55$，$\hat b=\frac{45-5×3×2.2}{55-5×9}=1.2$，$\hat a=\overline z-b\overline t=2.2-3×1.2=-1.4$，
∴z=1.2t-1.4•…（6分）
（Ⅱ）t=x-2010，z=y-5，代入z=1.2t-1.4得到：y-5=1.2（x-2010）-1.4，
即y=1.2x-2408.4•…（9分）
（Ⅲ）x=2020，∴y=1.2×2020-2408.4=15.6，
∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元•…（12分）

点评 本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，考查回归方程的意义和求法，考查数据处理的基本方法和能力，考查利用统计思想解决实际问题的能力．