Question

9．已知函数$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{3}}）$．
（1）用五点法画出函数f（x）在一个周期上的简图，并求出y=f（x）图象的对称轴方程与对称中心坐标；
（2）指出函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象经过哪些变换得到；
（3）当x∈[0，m]时，函数y=f（x）的值域为$[{-\sqrt{3}，2}]$，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用列表法，结合五点作图法进行取值作图．
（2）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．
（3）由条件可得2m-$\frac{π}{3}$≥$\frac{π}{2}$，即 m≥$\frac{5π}{12}$．又函数y=f（x）在[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]上是单调减函数，令2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$，解得 x=$\frac{5π}{6}$，由此可得m的取值范围．

解答 解：（1）列表：

2x-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	$\frac{7π}{6}$
y	0	2	0	-2	0

描点，连线可得对应的图象为：

由2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数对称轴方程为：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z；
由2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z可解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，故对称中心坐标为：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z；
（2）把y=sinx图象向右平移$\frac{π}{3}$，得到函数y=sin（x-$\frac{π}{3}$）的图象．
再把函数y=sin（x-$\frac{π}{3}$）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，得到函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象．
最后再把函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象．  …（6分）
（3）∵当x∈[0，m]时，函数y=f（x）的值域为[-$\sqrt{3}$，2]，
又当x∈[0，m]时，有-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2m-$\frac{π}{3}$，且y取到最大值2，f（0）=-$\sqrt{3}$，
所以2m-$\frac{π}{3}$≥$\frac{π}{2}$，故 m≥$\frac{5π}{12}$． …（8分）
又函数y=f（x）在[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]上是单调减函数，令2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$，可得 x=$\frac{5π}{6}$．
所以m的取值范围是[$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{6}$]．…（10分）

点评 本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了复合三角函数的单调性和最值，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，要求熟练掌握相应的三角函数的性质以及五点法作图，属于基本知识的考查．