题目内容
19．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，MN是经过椭圆左焦点F的任一弦，AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦．（Ⅰ）若$2\overrightarrow{MF}=5\overrightarrow{FN}$，求弦MN所在直线的斜率；
（Ⅱ）证明：|AB|是|MN|和椭圆长轴2a的等比中项．
分析 （I）e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{c}{a}$，设a=3m，则c=$\sqrt{3}$m，b2=a2-c2=6m2．可得椭圆的标准方程为：2x2+3y2=18m2．设直线l的方程为：ty-$\sqrt{3}$m=x，M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆方程联立化为（2t2+3）y2-4$\sqrt{3}$tmy-12m2=0，由$2\overrightarrow{MF}=5\overrightarrow{FN}$，可得-2y1=5y2，与根与系数的关系联立即可解出．
（II）直线AB的方程为：ty=x，与椭圆方程联立解得y2，x2，可得|AB|2=4（x2+y2）．利用弦长公式可得|MN|=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，即可证明．
解答 （I）解：∵e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{c}{a}$，设a=3m，则c=$\sqrt{3}$m，b2=a2-c2=6m2．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{9{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{6{m}^{2}}$=1，即2x2+3y2=18m2．
设直线l的方程为：ty-$\sqrt{3}$m=x，M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ty-\sqrt{3}m=x}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=18{m}^{2}}\end{array}\right.$，化为（2t2+3）y2-4$\sqrt{3}$tmy-12m2=0，
∴y1+y2=$\frac{4\sqrt{3}tm}{2{t}^{2}+3}$，y1y2=$\frac{-12{m}^{2}}{2{t}^{2}+3}$，
∵$2\overrightarrow{MF}=5\overrightarrow{FN}$，
∴-2y1=5y2，
解得y2=$\frac{-8\sqrt{3}tm}{3（2{t}^{2}+3）}$，y1=$\frac{20\sqrt{3}tm}{3（2{t}^{2}+3）}$，
∴$\frac{-160×3{t}^{2}{m}^{2}}{9（2{t}^{2}+3）^{2}}$=$\frac{-12{m}^{2}}{2{t}^{2}+3}$，
化为：t2=$\frac{27}{22}$，解得t=±$\frac{3\sqrt{66}}{22}$．
（II）证明：直线AB的方程为：ty=x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=18{m}^{2}}\end{array}\right.$，解得y2=$\frac{18{m}^{2}}{2{t}^{2}+3}$，x2=$\frac{18{t}^{2}{m}^{2}}{2{t}^{2}+3}$，
∴|AB|2=4（x2+y2）=$\frac{72{m}^{2}（1+{t}^{2}）}{2{t}^{2}+3}$．
|MN|=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[\frac{48{t}^{2}{m}^{2}}{（2{t}^{2}+3）^{2}}-\frac{-48{m}^{2}}{2{t}^{2}+3}]}$=$\frac{12m（1+{t}^{2}）}{2{t}^{2}+3}$，
∴|MN|•2a=$\frac{12m（1+{t}^{2}）}{2{t}^{2}+3}$×2×3m=$\frac{72{m}^{2}（1+{t}^{2}）}{2{t}^{2}+3}$，
∴|MN|•2a=|AB|2．
∴|AB|是|MN|和椭圆长轴2a的等比中项．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、向量共线定理坐标运算、等比中弦，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
