Question

11．椭圆上的点A（-3，0）关于直线y=x和y=-x的对称点分别为椭圆的焦点F₁和F₂，P为椭圆上任意一点，则|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的最大值为18．

Answer 1

分析 由对称性得到椭圆焦点坐标，可知椭圆是焦点在y轴上的椭圆，求出离心率，代入焦半径公式，可得|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=$18-\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{2}$，结合P点纵坐标的范围得答案．

解答 解：点A（-3，0）关于直线y=x和y=-x的对称点分别为（0，-3），（0，3），
即F₁（0，-3），F₂（0，3），
∴b=c=3，则a²=b²+c²=18，a=$3\sqrt{2}$．
∴椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{18}+\frac{{x}^{2}}{9}=1$．
设P（x₀，y₀），则-3≤y₀≤3．
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=a+ey₀=3$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=a-ey₀=$3\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$．
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=（3$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$）（$3\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$）=$18-\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{2}$，
当y₀=0时，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|有最大值为18．
故答案为：18．

点评 本题考查椭圆的简单性质，训练了椭圆焦半径公式的应用，属中档题．