题目内容

10．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5}{2}$π）；
（2）f（x）=$\sqrt{2sinx-1}$．

分析 利用奇偶函数的定义分别进行判断．

解答 解：（1）函数定义域为R，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5}{2}$π）=$\sqrt{2}$cos2x；$\sqrt{2}$cos（-2x）=$\sqrt{2}$cos2x，即f（-x）=f（x），所以为偶函数；
（2）解2sinx-1≥0，得到函数的定义域为[2kπ+$\frac{π}{6}$，2k$π+\frac{5π}{6}$]，关于原点不对称，故f（x）=$\sqrt{2sinx-1}$为非奇非偶的函数．

点评 本题考查了函数奇偶性的判定；首先判断函数定义域是否关于原点对称；不对称则为非奇非偶的函数；如果对称，再利用定义判断f（-x）与f（x）的关系．

练习册系列答案
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20．已知集合M={1，3，5，7，9}，N={x|2x＜9}，则M∩N=（　　）
A．{1，3，5}B．{1，3}C．{1}D．{3}
1．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（3a-1）x+4a，x＜1\\-{x^2}+2ax+1，x≥1\end{array}\right.$是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（-∞，1]B．$[{\frac{1}{5}，\frac{1}{3}}）$C．$（{-∞，\frac{1}{3}}）$D．$[{\frac{1}{5}，1}]$
18．已知圆C：x2+y2+bx+ay-3=0（a＞0，b＞0）上任意一点关于直线l：x+y+2=0的对称点都在圆C上，则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
5．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2cos2$\frac{x}{2}$．
（1）求的最小正周期和在$[\frac{π}{6}，π]$上单调递减区间；
（2）在△A BC中，角 A，B，C的对边分别是a，b，c，且若f（ B）=3，b=3，求a+c的取值范围．
15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0），点M是椭圆上的任意一点，△MF1F2的周长是2$\sqrt{2}$+2，且△MF1F2面积的最大值是1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若N是椭圆上一点，点M，N不重合，线段MN的垂直平分线的方程是2λx-2y+1=0，求△0MN面积的最大值．
2．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）．
（1）若该函数的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，则该函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）
（2）若A=2，ω=2，φ=0，则该函数图象在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上与直线y=-2围成封闭图形面积为π．
（3）若A=2，ω＞2，φ=$\frac{π}{3}$，且该函数图象整体在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有4条对称轴，则ω取值集合为6≤ω＜8．
19．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，MN是经过椭圆左焦点F的任一弦，AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦．
（Ⅰ）若$2\overrightarrow{MF}=5\overrightarrow{FN}$，求弦MN所在直线的斜率；
（Ⅱ）证明：|AB|是|MN|和椭圆长轴2a的等比中项．
20．求函数y=-tan3x+4tanx+1，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]值域．

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