Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），f（x）=a^x•g（x）（a＞0，且a≠1），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，在有穷数列{

f(n)

g(n)

}（n=1，2，…10）中，任意取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于

15

16

的概率是

 

．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：由f（x）=a^x•g（x），得ax=

f(x)

g(x)

，y=a^x为减函数，由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，得a=

1

2

，由(

1

2

)n＞

15

16

，得n＞4．由此能求出题前k项和大于

15

16

的概率．

解答： 解：由f（x）=a^x•g（x），得ax=

f(x)

g(x)

，
又(

f(x)

g(x)

)′=

f′(x)•g(x)-f(x)•g′(x)

[g(x)]2

＜0，
∴y=a^x为减函数，则0＜a＜1，
由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，得a+

1

a

=

5

2

，
解得a=

1

2

，∴

f(n)

g(n)

=(

1

2

)n，
∴

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n=1-（

1

2

）ⁿ，
由(

1

2

)n＞

15

16

，得n＞4．
∴前k项和大于

15

16

的概率p=

6

10

=

3

5

．
故答案为

3

5

点评：考查学生对导数、指数函数的单调性、等比数列求和、古典概型等有关知识的掌握与应用能力．