Question

3．（1）计算：27${\;}^{\frac{2}{3}}$-2${\;}^{lo{g}_{4}3}$×log₂$\frac{1}{8}$+log₂3×log₃4；
（2）已知0＜x＜1，且x+x^-1=3，求x${\;}^{\frac{1}{2}}$-x${\;}^{-\frac{1}{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用指数与对数的原式性质即可得出．
（2）由$（{x}^{\frac{1}{2}}-{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$=x+x^-1-2，由0＜x＜1，可得x＜x^-1，即可得出．

解答 解：（1）原式=${3}^{3×\frac{2}{3}}$-${2}^{lo{g}_{2}\sqrt{3}}$×$lo{g}_{2}{2}^{-3}$+$\frac{lg3}{lg2}×\frac{2lg2}{lg3}$=9-$\sqrt{3}$×（-3）+2=11+3$\sqrt{3}$．
（2）∵x+x^-1=3，
∴$（{x}^{\frac{1}{2}}-{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$=x+x^-1-2=3-2=1，
∵0＜x＜1，∴x＜x^-1，
∴x${\;}^{\frac{1}{2}}$-x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=-1．

点评 本题考查了指数与对数的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．