Question

已知函数f（x）=x|x-a|-lnx，求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：首先，求出f（x）的定义域，先按（1）a≤0，（2）a＞0两种情况进行讨论，其中a＞0时分为：x≥a，0＜x＜a讨论去绝对值符号，然后，利用导数符号即可判断单调性．

解答： 解：∵f（x）=x|x-a|-lnx，
∴x＞0，
∴函数的定义域为（0，+∞）．下面分（1）a≤0，（2）a＞0两种情况进行讨论：
（1）当a≤0时，f（x）=x²-ax-lnx，
f′(x)=2x-a-

1

x

=

2x2-ax-1

x

，
令f′（x）=0，得x=

a+ a2+8

4

＞a，或x=

a- a2+8

4

＜a（舍），
∴f（x）=x|x-a|-lnx的增区间为[

a+ a2+8

4

，+∞），在区间（0，

a+ a2+8

4

）上是单调减函数；
（2）当a＞0时，
①当x≥a时，f′(x)=2x-a-

1

x

=

2x2-ax-1

x

，
令f′（x）=0，得x1=

a+ a2+8

4

或x₂=

a- a2+8

4

（舍），
（i）若

a+ a2+8

4

≤a，即a≥1时，f′（x）≥0，
∴f（x）在（a，+∞）上单调增．
（ii）若

a+ a2+8

4

＞a，即0＜a＜1，
则当x∈（0，x₁）时，f′（x）＜0；当x∈（x₁，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在区间（0，

a+ a2+8

4

）上是单调减函数，在（

a+ a2+8

4

，+∞）上是单调增函数．
②当0＜x＜a时，f（x）=-x²+ax-lnx，
f′(x)=-2x+a-

1

x

=

-2x2+ax-1

x

，
令f′（x）=0，
即-2x²+ax-1=0，
化简得：2x²-ax+1=0，
若△=a²-8≤0，
∴0＜a≤2

2

，
∴f′（x）≤0，
所以函数在（0，a）上为减函数；
若△=a²-8＞0，
∴a＞2

2

，
∵f′（x）=0，
得x₃=

a+ a2-8

4

，x₄=

a- a2-8

4

，且0＜x₃＜x₄＜a，
则当x∈（0，x₃）时，f′（x）＜0；当x∈（x₄，+∞）时，f′（x）＞0．
当x∈（x₃，x₄）时，f′（x）＞0．
综上，当a＜1时，f（x）在区间（0，

a+ a2+8

4

）上是单调减函数，在（

a+ a2+8

4

，+∞）上是单调增函数．
当1≤a≤2

2

，时，函数在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上单调增．
当a＞2

2

时，f（x）在区间（0，

a- a2-8

4

）上是单调减函数，在（

a+ a2-8

4

，+∞）上是单调增函数．在区间（

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

），（a，+∞）上是单调增函数．

点评：本题重点考查函数的单调性与导数，分类讨论思想在解题中的运用，注意分类的层次性，不可以重复和遗漏，属于难题．