Question

2．如图，矩形ABCD所在的平面和正方形ADD₁A₁所在的平面互相垂直，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）当E为AB的中点时，求点E到平面ACD₁的距离；
（2）当AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为$\frac{π}{4}$？

Answer 1

分析 （1）分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间坐标系，利用向量法能求出点E到平面ACD₁的距离．
（2）求出平面CED₁的法向量和平面ECD的一个法向量，利用向量法能求出当AE=2-$\sqrt{3}$时，二面角D₁-EC-D的大小为$\frac{π}{4}$．

解答 解：（1）分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间坐标系，
则E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1）．
$\overrightarrow{A{D_1}}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{AC}=（-1，2，0）$，
设点E到平面ACD₁的距离为d，$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面ACD₁的法向量，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{A{D_1}}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{-x+z=0}\\{-x+2y=0}\end{array}}\right.$，取$\overrightarrow n=（2，1，2）$．
而$\overrightarrow{AE}=（0，1，0）$，
所以$d=\frac{{|\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}|}}{|\overrightarrow n|}=\frac{1}{3}$．
（2）设AE=l（0＜l＜2），由（1）知E（1，l，0），
设$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$是平面CED₁的法向量．
$\overrightarrow{EC}=（-1，2-l，0）$，$\overrightarrow{C{D_1}}=（0，-2，1）$．
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{E{C_1}}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{C{D_1}}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{-{x_1}+（2-l）{y_1}=0}\\{-2{y_1}+{z_1}=0}\end{array}}\right.$，取$\overrightarrow{n_1}=（2-l，1，2）$，
又平面ECD的一个法向量为$\overrightarrow m=（0，0，1）$．
由$cos\frac{π}{4}=\frac{{|\overrightarrow m•\overrightarrow{n_1}|}}{{|\overrightarrow m||\overrightarrow{n_1}|}}$，即$\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{2}{{\sqrt{{{（2-l）}^2}+5}}}$，
解得$l=2-\sqrt{3}$，即$AE=2-\sqrt{3}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，考查满足条件的点的位置的判断，是中档题，解题时要认真审，注意向量法的合理运用．