题目内容

如图，已知在底面为正方形是四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，M为线段PA
上一动点，E，F分别是线段BC、CD的中点，EF与AC交于点N．
（1）求证：平面PAC⊥平面MEF；
（2）若PC∥平面MEF，试求PM：MA的值．
考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定
专题：证明题,空间位置关系与距离
分析：（1）由已知可证明PA⊥EF，由底面ABCD为正方形，E，F分别是线段BC、CD的中点，EF与AC交于点N，可证明AC⊥EF，从而可得EF⊥平面PAC，又EF?平面MEF，即可判定平面PAC⊥平面MEF；
（2）连接MN，由PC∥平面MEF，且MN?平面MEF，MN?平面APC，可得PC∥MN，从而有
PM
MA
=
CN
NA
，设BC=2，则可得EC=1，AC=
8
，EN=
2
2
，CN=
2
2
，从而可求PM：MA的值．
解答： 解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，
∵底面ABCD为正方形，E，F分别是线段BC、CD的中点，EF与AC交于点N．
∴∠ACB=
π
4
，设BC=2，可得EC=1，EN=
2
2
，可解得AC⊥EF，
∴EF⊥平面PAC，
∵EF?平面MEF，
∴平面PAC⊥平面MEF；
（2）连接MN，∵PC∥平面MEF，且MN?平面MEF，MN?平面APC，
∴PC∥MN，
∴
PM
MA
=
CN
NA
，
∵由（1）可得设BC=2，则EC=1，AC=
8
，EN=
2
2
，故CN=
1-(
2
2
)2
=
2
2
，
∴解得：
PM
MA
=
CN
NA
=
2
2
8
-
2
2
=
1
3
．
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，熟练应用相关判定定理和性质定理是解题的关键，属于基本知识的考查．
练习册系列答案
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已知复数z满足|z+1|=|z-1|，且z+
1
z
∈R．
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已知函数f（x）=lnx，g（x）=
1
2
ax2-2x．
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1
3
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1-a
x
-1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
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（Ⅲ）当a=
1
3
时，设函数g（x）=x2-2bx-
5
12
，若对于?x1∈[0，1]，对于?x1∈[1，2]，?x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．
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m
2
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1
m
-1成立，求实数m的取值范围．
已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=2n，bn=3n，若cn=a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1，则数列{cn}的通项公式为
 
．
O为平行四边形ABCD所在平面上一点，若3|
AB
|=2|
AD
|，
OA
+
OB
=λ（
OC
+
OD
），
OA
=μ（
AB
+2
AC
），则λ的值是（　　）
A、-
1
3
B、-
1
2
C、-
2
3
D、-1
P是抛物线y2=6x上的点，若P到点（
3
2
，0）的距离为15，则P到直线2x+5=0的距离是
 
．
在△ABC中，acosA+bcosB=ccosC，试判断三角形的形状．

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