Question

已知函数f（x）=mlnx+

m

2

x²-x（m≠0）．
（1）若函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，求m的值．
（2）若函数在[1，+∞）上单调递增，求m的取值范围．
（3）若存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＞lnx₀+mx₀²-2x₀+

1

m

-1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出函数的导数，由题意可得f′（1）=1，即可得到m=1；
（2）求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，运用参数分离和基本不等式即可得到m的范围；
（3）由题意可得（m-1）lnx₀-

m

2

x₀²+x₀+1-

1

m

＞0成立，令g（x）=（m-1）lnx-

m

2

x²+x+1-

1

m

，求出导数，并分解因式，对m讨论，若m＜0，0＜m＜

1

2

，m≥

1

2

，判断单调性，求得极值，令最大值大于0，解不等式即可得到m的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=mlnx+

m

2

x²-x的导数为f′（x）=

m

x

+mx²-1，
函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，即有k=f′（1）=m+m-1=1，
解得m=1；
（2）由于f′（x）=

m

x

+mx²-1，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即有m≥

1

x+ 1 x

，由于x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，
当且仅当x=1取得等号．
即有

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
则有m≥

1

2

；
（3）f（x₀）＞lnx₀+mx₀²-2x₀+

1

m

-1即为
mlnx₀+

m

2

x₀²-x₀＞lnx₀+mx₀²-2x₀+

1

m

-1，
即（m-1）lnx₀-

m

2

x₀²+x₀+1-

1

m

＞0，
令g（x）=（m-1）lnx-

m

2

x²+x+1-

1

m

，
则g′（x）=

m-1

x

-mx+1=

m-1-mx2+x

x

=

(x-1)(-mx-m+1)

x

，
由于x₀≥1，存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＞lnx₀+mx₀²-2x₀+

1

m

-1成立．
即有g（x）在[1，+∞）上存在最大值．
若m＜0，则-m＞0，

1-m

m

＜0，即有g（x）在[1，+∞）递增，不存在最大值；
若m＞0，则-m＜0，当m≥

1

2

时，g′（x）≤0，g（x）递减，成立，
即有g（1）＞0，即-

m

2

+2-

1

m

＞0，解得2-

2

＜m＜2+

2

．
当0＜m＜

1

2

，即有

1-m

m

＞1，当1＜x＜

1-m

m

时，g（x）递增，当x＞

1-m

m

递减，
即有x=

1-m

m

处g（x）取得极大值，也为最大值，
则有（m-1）ln

1-m

m

-

m

2

（

1-m

m

）²+

1-m

m

+1-

1

m

＞0，
即为（m-1）ln

1-m

m

＞

m

2

（

1-m

m

）²，显然左边小于0，右边大于0，不成立．
综上可得，实数m的取值范围是（2-

2

，2+

2

）．

点评：本题考查导数的运用：求切线的方程和求单调区间和极值、最值，主要考查导数的几何意义和不等式存在和恒成立问题的解法，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．