Question

9．已知函数f（x）=（x²-3）e^x，设关于x的方程${f^2}（x）-mf（x）-\frac{12}{e^2}=0（m∈R）$有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（　　）

• A． 3
• B． 1或3
• C． 4或6
• D． 3或4或6

Answer 1

分析 利用导数求出函数的单调性，画出图象，令f（x）=t，则方程${t^2}-mt-\frac{12}{e^2}=0$必有两根t₁，t₂（t₁＜t₂）且${t_1}{t_2}=-\frac{12}{e^2}$，根据图象求解

解答 解：f′（x）=（x-1）（x+3）e^x，∴f（x）在（-∞，-3）和（1，+∞）上单增，（-3，1）上单减，又当x→-∞时f（x）→0，x→+∞时f（x）→+∞，故f（x）的图象大致为：

令f（x）=t，则方程${t^2}-mt-\frac{12}{e^2}=0$必有两根t₁，t₂（t₁＜t₂）且${t_1}{t_2}=-\frac{12}{e^2}$，
当t₁=-2e时恰有${t_2}=6{e^{-3}}$，此时f（x）=t₁有1个根，f（x）=t₂有2个根；
当t₁＜-2e时必有$0＜{t_2}＜6{e^{-3}}$，此时f（x）=t₁无根，f（x）=t₂有3个根；
当-2e＜t₁＜0时必有${t_2}＞6{e^{-3}}$，此时f（x）=t₁有2个根，f（x）=t₂有1个根；
综上，对任意m∈R，方程均有3个根．
故选：A．

点评 本题考查了方程的根与函数图象交点间的转化，方程与函数的思想、数形结合的思想是解题的关键，属于难题．