Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求证：B₁D⊥平面A₁BC₁；
（2）已知动点K满足

B1K

=λ

B1D

（0＜λ＜1）
①当λ=

 

时，A₁，C₁，K三点确定的平面截该正方体所得的截面多边形为矩形（直接填空，不必证明）；
②若点k∈平面A₁BC₁，求D₁K与平面A₁BC₁所成角α的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，以AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B₁D⊥平面A₁BC₁．
（2）①由已知条件推导出λ=

1

2

．
②

B1K

=λ

B1D

=（-λ，λ，-λ），由

B1D

•

A1K

=0，得

D1K

=（

2

3

，-

2

3

，-

1

3

），由此能求出D₁K与平面A₁BC₁所成角α的正弦值．

解答： （1）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
以A为原点，以AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），C₁（1，1，1），D₁（0，1，1），

B1D

=（-1，1，-1），

A1C1

=（1，1，0），

BC1

=（0，1，1），
∵

B1D

•

BC1

=0，∴B₁D⊥BC₁，
∴B₁D⊥平面A₁BC₁．
（2）①解：λ=

1

2

．
故答案为：

1

2

．
②解：∵

B1K

=λ

B1D

=（-λ，λ，-λ），
∴

B1D

•

A1K

=0，得λ-1+λ+λ=0，即λ=

1

3

，
此时

D1K

=（

2

3

，-

2

3

，-

1

3

），
则D₁K与平面A₁BC₁所成角α的正弦值：
sinα=|cos＜

D1K

，

B1D

＞|=

|- 2 3 - 2 3 + 1 3 |

3 • 4 9 + 4 9 + 1 9

=

3

3

，
∴D₁K与平面A₁BC₁所成角α的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．