Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+2

是奇函数；
（1）求实数b的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）若关于x的方程f（x）=m在x∈[0，1]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数是奇函数，利用f（0）=0，解方程即可求实数b的值；
（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）的单调性；
（3）求出函数f（x）在x∈[0，1]上的取值范围即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，此时有f(0)=

-1+b

4

=0，
解得b=1；
（2）由（1）知：f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2

•(-1+

2

2x+1

)
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则

f(x2)-f(x1)= 1 2 •(-1+ 2 2x2+1 )- 1 2 •(-1+ 2 2x1+1 ) = 1 2 ( 2 2x2+1 - 2 2x1+1 )= 2x1-2x2 (2x1+1)(2x2+1)

，
∵x1＜x2∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）为减函数；
（3）由（2）知：f（x）为减函数；x∈[0，1]时，f（x）_max=f（0）=0，
f(x)min=f(1)=-

1

6

；
故f(x)∈[-

1

6

，0]，
∵关于x的方程f（x）=m在x∈[0，1]上有解，
故只需要m∈[-

1

6

，0]．

点评：本题主要考查函数奇偶性，单调性和最值的判断和应用，综合考查函数的性质．