Question

设函数F（x）=f（x）-ag（x）（a为常数），f（x）=

ex

x2

，g（x）=

2

x

+lnx，（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（Ⅰ）求曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≤0时，求函数F（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）若函数F（x）在（0，2）内存在两个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数g（x）的导函数，得到函数在x=1时的导数，再求出g（1）的值，由直线方程的点斜式求得曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求出函数F（x）的导函数，由a≤0求得导函数的零点，得到原函数的极值点，从而求得函数F（x）的极小值，也是最小值；
（Ⅲ）由函数F（x）在（0，2）内存在两个极值点，得其导函数在（0，2）上有两个零点，由此得到不等式组

lna＜2 t(lna)=elna-alna＜0 t(2)=e2-2a＞0

，求解不等式组得答案．

解答： 解：（Ⅰ）g（x）=

2

x

+lnx，则g′(x)=-

2

x2

+

1

x

=

x-2

x2

，
∴g′（1）=-1，
又g（1）=2，
∴曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y-2=-1×（x-1）．
即x+y-3=0；
（Ⅱ）F（x）=f（x）-ag（x）=

ex

x2

-a（

2

x

+lnx），
F′(x)=

ex•x2-2x•ex

x4

-a(-

2

x2

+

1

x

)=

x(x-2)(ex-ax)

x4

（x＞0）．
∵a≤0，
∴当x∈（0，2）时，F′（x）＜0，函数F（x）为减函数，在x∈（2，+∞）上F′（x）＞0，函数F（x）为增函数．
∴当x=2时，函数有最小值为F（2）=

e2

4

-a(1+ln2)；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F′(x)=

ex•x2-2x•ex

x4

-a(-

2

x2

+

1

x

)=

x(x-2)(ex-ax)

x4

，
要使函数F（x）在（0，2）内存在两个极值点，则
方程e^x-ax=0在（0，2）上有两个不等式实数根，
令t（x）=e^x-ax，
则t′（x）=e^x-a，
当a≤0时，t′（x）＞0，不满足题意，
当a＞0时，由则t′（x）=e^x-a=0，得x=lna，
由x→0时，t（x）→1，
∴要使函数t（x）在（0，2）上有两个不同的零点，则

lna＜2 t(lna)=elna-alna＜0 t(2)=e2-2a＞0

，解得：e＜a＜

e2

2

．
∴若函数F（x）在（0，2）内存在两个极值点，则a的取值范围是(e，

e2

2

)．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了函数零点的判断方法，考查了数学转化思想方法，是高考试卷中的压轴题．