Question

某商品每件成本10元，售价为30元，每星期卖出100件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤30）成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出20件．
（1）将一个星期的商品销售利润y表示成x的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）先设商品降价x元，写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低2元时，一星期多卖出20件”求出比例系数即可得一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（2）根据（1）中得到的函数，利用配方法得出以定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大．

解答： 解：（1）设商品降价x元，则每个星期多卖的商品数为kx，
则依题意有y=（30-x-10）（100+kx）=（20-x）（100+kx）
又由已知条件知20=2k，于是有k=10，
所以y=（20-x）（100+10x），0≤x≤30．
（2）根据（1）知y=（20-x）（100+10x）=10（-x²+10x+200）=-10（x-5）²+2250
所以当x=5时，销售利润最大，最大值为2250元．
所以定价为30-5=25元时，能使一个星期的商品销售利润最大．

点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力．