题目内容
已知F1、F2是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率e=
，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2的内切圆面积的最大值为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，满足向量
与
共线，
与
共线，且
•
=0，求|
|+|
|的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
（1）求椭圆的方程；
（2）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，满足向量
| F1A |
| F1C |
| F1B |
| F1D |
| AC |
| BD |
| AC |
| BD |
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）根据，△PF1F2的内切圆面积的最大值为
．求得r=
，再根据△PF1F2的周长为定值，以及离心率，求得a，b的值，问题得以解决．
（2）分两类讨论，斜率不存在，斜率存在，当斜率存在时根据弦长公式得到|
|+|
|=
，再利用换元法，求得取值范围
| 4π |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
（2）分两类讨论，斜率不存在，斜率存在，当斜率存在时根据弦长公式得到|
| AC |
| BD |
| 168 | ||||
12+
|
解答：
解：（1）由几何性质可知，当，△PF1F2的内切圆面积的最大值时，
即，S△PF1F2取最大值，且（S△PF1F2）max=
•2c•b=bc，
由πr2=
π，解得r=
，
又由△PF1F2的周长为2a+2c定值，
∴
=
，
又e=
=
，
可得a=2c，即b=2
，
∴c=2，b=2
，a=4，
故椭圆方程为
+
=1，
（2）①当直线AC和BD中有一条垂直x轴时，|
|+|
|=6+8=14，
②当直线AC的斜率存在但不为0时，设AC的方程为：y=k（x+2），
由
得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-48=0，代入弦长公式得，|
|=
，
同理由
，消去y，代入弦长公式得|
|=
，
∴|
|+|
|=
=
，
令
=t∈（0，1），
则-t2+t+12∈[
，14），
由①②可知|
|+|
|的取值范围是[
，14]．
即，S△PF1F2取最大值，且（S△PF1F2）max=
| 1 |
| 2 |
由πr2=
| 4 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
又由△PF1F2的周长为2a+2c定值，
∴
| bc |
| 2a+2c |
2
| ||
| 3 |
又e=
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
可得a=2c，即b=2
| 3 |
∴c=2，b=2
| 3 |
故椭圆方程为
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 12 |
（2）①当直线AC和BD中有一条垂直x轴时，|
| AC |
| BD |
②当直线AC的斜率存在但不为0时，设AC的方程为：y=k（x+2），
由
|
得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-48=0，代入弦长公式得，|
| AC |
| 24(k2+1) |
| 3+4k2 |
同理由
|
| BD |
| 24(k2+1) |
| 3k2+4 |
∴|
| AC |
| BD |
| 168(k2+1)2 |
| (3+4k2)(4+3k2) |
| 168 | ||||
12+
|
令
| 1 |
| k2+1 |
则-t2+t+12∈[
| 96 |
| 7 |
由①②可知|
| AC |
| BD |
| 96 |
| 7 |
点评：本题考查了椭圆方程的求法、直线与椭圆相交问题、弦长公式即可得出，考查了学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）=x2+alnx在x=1处取得极值，则a等于（ ）
| A、2 | B、-2 | C、4 | D、-4 |