题目内容
在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，AB=AQ=| 1 |
| 2 |
（1）求证：PQ⊥平面DCQ；
（2）求二面角B-CQ-P的大小．
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）以D为原点，DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．利用向量法能证明PQ⊥平面DCQ．
（2）分别求出面BCQ的一个法向量和平面PCQ的一个法向量，由此能求出二面角B-CQ-P的大小．
（2）分别求出面BCQ的一个法向量和平面PCQ的一个法向量，由此能求出二面角B-CQ-P的大小．
解答：
（1）证明：因为AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，所以DA，DP，DC两两垂直．以D为原点，
DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
不妨设AB=1，则D（0，0，0），B（1，0，1），C（0，0，1），Q（1，1，0），P（0，2，0）．…（1分）
=（0，0，1），
=(1，1，0)，
=(1，-1，0)，
•
=0，
•
=0，
故DC⊥PQ，DQ⊥PQ，又DC∩DQ=D，所以PQ⊥平面DCQ．…（6分）
（2）解：
=(-1，0，0)，
=(0，1，-1)，
设平面BCQ的一个法向量为
．
，故
=（0，1，1）．
=(0，-2，1)，
=(1，-1，0)，设平面PCQ的一个法向量为
．
，故
=（1，1，2）．
则cos＜
，
＞=
=
．
可以判断二面角B-CQ-P是钝角，所以二面角B-CQ-P的大小为
．…（12分）
DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
不妨设AB=1，则D（0，0，0），B（1，0，1），C（0，0，1），Q（1，1，0），P（0，2，0）．…（1分）
| DC |
| DQ |
| PQ |
| DC |
| PQ |
| DQ |
| PQ |
故DC⊥PQ，DQ⊥PQ，又DC∩DQ=D，所以PQ⊥平面DCQ．…（6分）
（2）解：
| BC |
| BQ |
设平面BCQ的一个法向量为
| n1 |
|
| n1 |
| PC |
| PQ |
| n1 |
|
| n2 |
则cos＜
| n1 |
| n2 |
| 3 | ||||
|
| ||
| 2 |
可以判断二面角B-CQ-P是钝角，所以二面角B-CQ-P的大小为
| 5π |
| 6 |
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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