题目内容
已知数列{an}满足an+1-2an=0且a3+2是a2，a4的等差中项，Sn是数列{an}的前n项和．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=anlogan，Sn=b1+b2+b3+…bn，求使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=anlogan，Sn=b1+b2+b3+…bn，求使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
考点：数列与不等式的综合,数列递推式
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）由数列{an}满足an+1-2an=0，可得数列{an}是以2为公比的等比数列，利用a3+2是a2，a4的等差中项，求出公比，即可求{an}的通项公式；
（2）利用错位相减法，求出Sn，要使Sn+n•2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即可求使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
（2）利用错位相减法，求出Sn，要使Sn+n•2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即可求使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
解答：
解：（1）∵an+1-2an=0，即an+1=2an，
∴数列{an}是以2为公比的等比数列．
∵a3+2是a2，a4的等差中项，
∴a2+a4=2a3+4，则2a1+8a1=8a1+4，即a1=2，
∴数列{an}的通项公式an=2n； …（5分）
（2）由（1）及bn=-anlog2an得，bn=-n•2n，
∵Sn=b1+b2+…+bn，
∴Sn=-2-2•22-3•23-4•24-n•2n①
∴2Sn=-22-2•23-3•24-4•25-（n-1）•2n-n•2n+1②
②-①得，Sn=2+22+23+24+25++2n-n•2n+1…（8分）
=
-n2n+1=（1-n）•2n+1-2 …（10分）
要使Sn+n•2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即2n+1＞52，n＞5
∴使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．…（12分）
∴数列{an}是以2为公比的等比数列．
∵a3+2是a2，a4的等差中项，
∴a2+a4=2a3+4，则2a1+8a1=8a1+4，即a1=2，
∴数列{an}的通项公式an=2n； …（5分）
（2）由（1）及bn=-anlog2an得，bn=-n•2n，
∵Sn=b1+b2+…+bn，
∴Sn=-2-2•22-3•23-4•24-n•2n①
∴2Sn=-22-2•23-3•24-4•25-（n-1）•2n-n•2n+1②
②-①得，Sn=2+22+23+24+25++2n-n•2n+1…（8分）
=
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
要使Sn+n•2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即2n+1＞52，n＞5
∴使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．…（12分）
点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活地运用公式解答．
练习册系列答案
轻松暑假总复习系列答案
相关题目
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是2，则F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长是