Question

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=$\frac{π}{4}$，b²-a²=$\frac{1}{2}$c²．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值及△ABC的外接圆的周长．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{4}$，已知b²-a²=$\frac{1}{2}$c²．可得b=$\frac{3\sqrt{2}c}{4}$，a=$\frac{\sqrt{10}}{4}$c．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=$\sqrt{1{-cos}^{2}C}$，即可得出tanC=$\frac{sinC}{cosC}$．
（2）由S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{10}}{4}$c×$\frac{3\sqrt{2}}{4}$c×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=3，可得c，即可得出b，根据正弦定理求出外接圆的半径，从而求出其周长即可．

解答 解：（1）∵A=$\frac{π}{4}$，
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{4}$，
∴b²-a²=$\sqrt{2}$bc-c²，
又b²-a²=$\frac{1}{2}$c²．
∴$\sqrt{2}$bc-c²=$\frac{1}{2}$c²，
∴$\sqrt{2}$b=$\frac{3}{2}$c．可得b=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$c，
∴a²=b²-$\frac{1}{2}$c²=$\frac{5}{8}$c²，
即a=$\frac{\sqrt{10}}{4}$c．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{\frac{5}{8}c}^{2}+{\frac{9}{8}c}^{2}{-c}^{2}}{2•\frac{\sqrt{10}}{4}c•\frac{3\sqrt{2}}{4}c}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵C∈（0，π），
∴sinC=$\sqrt{1{-cos}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=2．
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{10}}{4}$c×$\frac{3\sqrt{2}}{4}$c×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=3，
解得c=2$\sqrt{2}$．
∴b=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$=3；
∵$\frac{a}{sinA}$=2R，
∴R=$\frac{a}{2sinA}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{4}•2\sqrt{2}}{2sin\frac{π}{4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴△ABC的外接圆的周长是：$\sqrt{10}$π．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．