Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow m=（cosA，cosB）$，$\overrightarrow n=（a，2c-b）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

分析 （I）利用数量积运算性质、正弦定理、和差公式即可得出．
（II）利用和差公式、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，∴acos B-（2c-b）cos A=0，
在△ABC中，由正弦定理得sin Acos B-（2sin C-sin B）cos A=0，
所以sin Acos B-2sin Ccos A+sin Bcos A=0，
即sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos A，
所以sin（A+B）=2sin Ccos A．
又A+B+C=π，所以sin C=2sin Ccos A，）
因为0＜C＜π，所以sin C＞0，
所以cos A=$\frac{1}{2}$，又0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由已知sinC+sinB=sinB+sin（π-B-A）=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）
=sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$．
当B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}，B=\frac{π}{3}$．
则△ABC为正三角形时sinA+sinB的最大值是$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、正弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．