Question

16．已知圆心为C的圆（x-1）²+y²=6内有点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．
（1）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
（2）当AB长为2$\sqrt{5}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由圆的标准方程可得圆心坐标，从而求得直线的斜率，利用点斜式求直线的方程．
（2）当直线l的斜率存在时，利用弦长公式求得斜率的值，用点斜式求直线的方程．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，经检验符合题意，从而得出结论．

解答 解：（1）当弦AB被点P平分时，CP和直线l垂直，k_CP=2，故直线l的斜率为-$\frac{1}{2}$，
用点斜式求得直线l的方程为 y-2=-$\frac{1}{2}$（x-2），即 x+2y-6=0．
（2）由于圆的半径为$\sqrt{6}$，当AB长为2$\sqrt{5}$时，圆心到直线l的距离为1
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-2），
整理得kx-y+（2-2k）=0，圆心到直线l的距离为d=$\frac{|k-0+2-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k=$\frac{3}{4}$，代入整理得3x-4y+2=0．  （8分）
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，经检验符合题意．
∴直线l的方程为3x-4y+2=0，或x=2．        （10分）

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，利用点斜式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．