Question

2．已知关于x的方程${log_2}（{x+3}）-{log_4}{x^2}=a$的解在区间（3，8）内，则a的取值范围是$（lo{g}_{2}\frac{11}{8}，1）$．

Answer 1

分析 关于x的方程${log_2}（{x+3}）-{log_4}{x^2}=a$的解在区间（3，8）内，方程${log_2}（{x+3}）-{log_4}{x^2}=a$，化为：$lo{g}_{2}\frac{x+3}{x}$=a，根据x∈（3，8），可得$\frac{x+3}{x}$=1+$\frac{3}{x}$∈$（\frac{11}{8}，2）$，即可得出．

解答 解：关于x的方程${log_2}（{x+3}）-{log_4}{x^2}=a$的解在区间（3，8）内，
∴方程${log_2}（{x+3}）-{log_4}{x^2}=a$，化为：$lo{g}_{2}\frac{x+3}{x}$=a，
∵x∈（3，8），∴$\frac{x+3}{x}$=1+$\frac{3}{x}$∈$（\frac{11}{8}，2）$，
∴a∈$（lo{g}_{2}\frac{11}{8}，1）$．
∴a的取值范围是$（lo{g}_{2}\frac{11}{8}，1）$．
故答案为：$（lo{g}_{2}\frac{11}{8}，1）$．

点评 本题考查了对数的运算性质及其单调性、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．