Question

2．已知函数f（x）=$\frac{x-2}{x-1}$与g（x）═mx+1-m的图象相交于点A，B两点，若动点P满足|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=2，则P的轨迹方程是（x-1）²+（y-1）²=4．

Answer 1

分析 联立直线方程和双曲线方程，求得A，B的坐标，写出向量的坐标，求出两向量的坐标和，由向量的模等于2化简整理得到P的轨迹方程．

解答 解：联立函数f（x）=$\frac{x-2}{x-1}$与g（x）═mx+1-m得x=1±$\sqrt{-\frac{1}{m}}$．
当x=1-$\sqrt{-\frac{1}{m}}$时，y=1-m$\sqrt{-\frac{1}{m}}$，
当x=1+$\sqrt{-\frac{1}{m}}$时，y=1+m$\sqrt{-\frac{1}{m}}$，
设动点P（x，y），
则$\overrightarrow{PA}$=（1-$\sqrt{-\frac{1}{m}}$-x，1-m$\sqrt{-\frac{1}{m}}$-y），
$\overrightarrow{PB}$=（1+$\sqrt{-\frac{1}{m}}$-x，1+m$\sqrt{-\frac{1}{m}}$-y），
则$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=（2-2x，2-2y），
由|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=2，得（2-2x）²+（2-2y）²=4，即（x-1）²+（y-1）²=4，
∴P的轨迹方程是（x-1）²+（y-1）²=4，
故答案为（x-1）²+（y-1）²=4．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量的坐标运算，是中档题．